№18. Планиметрическая задача

Прямая, перпендикулярная стороне \(BC\) ромба \(ABCD\), пересекает его диагональ \(AC\) в точке \(M\), а диагональ \(BD\) в точке \(N\), причём \(AM : MC = 1 : 2\), \(BN : ND = 1 : 3\).

а) Докажите, что \(\cos \angle BAD = \dfrac{1}{5}\).

б) Найдите площадь ромба, если \(MN = 5\).

На стороне \(BC\) треугольника \(ABC\) отмечена точка \(D\) так, что \(AB = BD\). Биссектриса \(BF\) треугольника \(ABC\) пересекает прямую \(AD\) в точке \(E\). Из точки \(C\) на прямую \(AD\) опущен перпендикуляр \(CK\).

а) Докажите, что \(AB : BC = AE : EK\).

б) Найдите отношение площади треугольника \(ABE\) к площади четырёхугольника \(CDEF\), если \(BD : DC = 5 : 2\).

На стороне \(AC\) равностороннего треугольника \(ABC\) отмечена точка \(M\). Серединный перпендикуляр к отрезку \(BM\) пересекает стороны \(AB\) и \(BC\) в точках \(E\) и \(K\) соответственно.

а) Докажите, что треугольники \(AEM\) и \(CMK\) подобны.

б) Найдите отношение \(AM : MC\), если площади треугольников \(AEM\) и \(CMK\) равны \(4\) и \(9\) соответственно.

Прямая, проходящая через середину \(M\) гипотенузы \(AB\) прямоугольного треугольника \(ABC\), перпендикулярна \(CM\) и пересекает катет \(AC\) в точке \(K\). При этом \(AK : KC = 1 : 2\).

а) Докажите, что \(\angle BAC = 30^\circ\).

б) Пусть прямые \(MK\) и \(BC\) пересекаются в точке \(P\), а прямые \(AP\) и \(BK\) — в точке \(Q\). Найдите \(KQ\), если \(BC = \sqrt{21}\).

Две окружности касаются внутренним образом в точке \(C\). Вершины \(A\) и \(B\) равнобедренного прямоугольного треугольника \(ABC\) с прямым углом \(C\) лежат на большей и меньшей окружностях соответственно. Прямая \(AC\) вторично пересекает меньшую окружность в точке \(D\). Прямая \(BC\) вторично пересекает большую окружность в точке \(E\).

а) Докажите, что прямые \(AE\) и \(BD\) параллельны.

б) Найдите \(AC\), если радиусы окружностей равны \(8\) и \(15\).

Периметр треугольника \(ABC\) равен \(36\). Точки \(E\) и \(F\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\) соответственно. Отрезок \(EF\) касается окружности, вписанной в треугольник \(ABC\).

а) Докажите, что \(AC = 9\).

б) Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(\angle ACB = 90^\circ\).