№18. Планиметрическая задача

Окружность проходит через вершины \(A\), \(B\) и \(C\) параллелограмма \(ABCD\), пересекает продолжение стороны \(AD\) за точку \(D\) в точке \(E\) и пересекает продолжение стороны \(CD\) за точку \(D\) в точке \(K\).

а) Докажите, что \(BK = BE\).

б) Найдите отношение \(KE : AC\), если \(\angle BAD = 30^\circ\).

Сумма оснований трапеции равна \(10\), а её диагонали равны \(6\) и \(8\).

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Биссектрисы углов \(BAD\) и \(BCD\) равнобедренной трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(O\). На боковых сторонах \(AB\) и \(CD\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно так, что \(AM = MO\), \(CN = NO\).

а) Докажите, что точки \(M\), \(O\) и \(N\) лежат на одной прямой.

б) Найдите отношение \(AM : MB\), если \(AO = OC\) и \(BC : AD = 17 : 31\).

В трапеции \(ABCD\) основание \(AD\) в два раза больше основания \(BC\). Внутри трапеции взяли точку \(M\) так, что углы \(ABM\) и \(DCM\) прямые.

а) Докажите, что \(AM = DM\).

б) Найдите угол \(BAD\), если угол \(ADC\) равен \(70^\circ\), а расстояние от точки \(M\) до прямой \(AD\) равно стороне \(BC\).

Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\). Диагональ \(BD\) разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями \(AD\) и \(CD\).

а) Докажите, что луч \(AC\) — биссектриса угла \(BAD\).

б) Найдите \(CD\), если известны диагонали трапеции: \(AC = 12\) и \(BD = 6,5\).

На сторонах \(AB\), \(BC\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) отмечены точки \(C_1\), \(A_1\) и \(B_1\) соответственно, причём \(AC_1 : C_1B = 21 : 1\), \(BA_1 : A_1C = 2 : 3\), \(AB_1 : B_1C = 2 : 5\). Отрезки \(BB_1\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(D\).

а) Докажите, что четырёхугольник \(ADA_1B_1\) — параллелограмм.

б) Найдите \(CD\), если отрезки \(AD\) и \(BC\) перпендикулярны, \(AC = 63\), \(BC = 25\).