№18. Планиметрическая задача

Пятиугольник \(ABCDE\) вписан в окружность. Известно, что \(AB = CD = 3\), \(BC = DE = 4\).

а) Докажите, что \(AC = CE\).

б) Найдите длину диагонали \(BE\), если \(AD = 6\).

Окружность с центром в точке \(O\) высекает на всех сторонах трапеции \(ABCD\) равные хорды.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону \(AB\) в точках \(K\) и \(L\) так, что \(AK = 15\), \(KL = 6\), \(LB = 5\).

Точки \(P\), \(Q\), \(W\) делят стороны выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) в отношении \(AP : PB = CQ : QB = CW : WD = 1 : 4\), радиус окружности, описанной около треугольника \(PQW\), равен \(10\), \(PQ = 16\), \(QW = 12\), угол \(PWQ\) — острый.

а) Докажите, что треугольник \(PQW\) — прямоугольный.

б) Найдите площадь четырёхугольника \(ABCD\).

В треугольнике \(ABC\) угол \(A\) равен \(120^\circ\). Прямые, содержащие высоты \(BM\) и \(CN\) треугольника \(ABC\), пересекаются в точке \(H\). Точка \(O\) — центр окружности, описанной около треугольника \(ABC\).

а) Докажите, что \(AH = AO\).

б) Найдите площадь треугольника \(AHO\), если \(BC = \sqrt{15}\), \(\angle ABC = 45^\circ\).

В треугольнике \(ABC\) точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) — середины сторон \(BC\), \(AC\) и \(AB\) соответственно, \(AH\) — высота, \(\angle BAC = 60^\circ\), \(\angle BCA = 45^\circ\).

а) Докажите, что точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(H\) лежат на одной окружности.

б) Найдите \(A_1H\), если \(BC = 2\sqrt{3}\).

Окружность проходит через вершины \(A\), \(B\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\), пересекает сторону \(BC\) в точках \(B\) и \(E\) и пересекает сторону \(CD\) в точках \(K\) и \(D\).

а) Докажите, что \(AE = AK\).

б) Найдите \(AD\), если \(CE = 10\), \(DK = 9\) и \(\cos \angle BAD = 0,2\).