№18. Планиметрическая задача

Две окружности касаются внутренним образом в точке \(A\), причём меньшая проходит через центр большей. Хорда \(BC\) большей окружности касается меньшей в точке \(P\). Хорды \(AB\) и \(AC\) пересекают меньшую окружность в точках \(K\) и \(M\) соответственно.

а) Докажите, что прямые \(KM\) и \(BC\) параллельны.

б) Пусть \(L\) — точка пересечения отрезков \(KM\) и \(AP\). Найдите длину отрезка \(AL\), если радиус большей окружности равен \(34\), а \(BC = 32\).

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию \(ABCD\), касается её боковой стороны \(CD\) в точке \(M\). Луч \(AM\) вторично пересекает окружность в точке \(N\), а прямую \(BC\) — в точке \(K\), причём \(AN = 4\), \(MN = 12\).

а) Докажите, что \(\angle AMD = \angle MCK\).

б) Найдите меньшее основание трапеции.

Окружность с центром в точке \(O\) касается сторон угла с вершиной \(N\) в точках \(A\) и \(B\). Отрезок \(BC\) — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что \(\angle ANB = 2\angle ABC\).

б) Найдите расстояние от точки \(N\) до прямой \(AB\), если известно, что \(AC = 14\) и \(AB = 36\).

На стороне \(BC\) параллелограмма \(ABCD\) выбрана точка \(M\) такая, что \(AM = MC\).

а) Докажите, что центр вписанной в треугольник \(AMD\) окружности лежит на диагонали \(AC\).

б) Найдите радиус вписанной в треугольник \(AMD\) окружности, если \(AB = 5\), \(BC = 10\), \(\angle BAD = 60^\circ\).

Диагонали равнобедренной трапеции \(ABCD\) с основаниями \(BC\) и \(AD\) перпендикулярны. Окружность с диаметром \(AD\) пересекает боковую сторону \(CD\) в точке \(M\), а окружность с диаметром \(CD\) пересекает основание \(AD\) в точке \(N\). Отрезки \(AM\) и \(CN\) пересекаются в точке \(P\).

а) Докажите, что в четырёхугольник \(ABCP\) можно вписать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если \(BC = 7\), \(AD = 23\).

Высоты \(BB_1\) и \(CC_1\) остроугольного треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(H\).

а) Докажите, что \(\angle BB_1C_1 = \angle BAH\).

б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника \(ABC\), до стороны \(BC\), если \(B_1C_1 = 18\) и \(\angle BAC = 30^\circ\).