№16. Неравенства

Область допустимых значений

Оба логарифмируемых выражения должны быть положительны:

\[\begin{cases} x^2 - 7x + 12 > 0,\\[2pt] \dfrac{(x-3)^7}{x-4} > 0.\end{cases}\]

Разложим трёхчлен: \(x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)\). Первое условие — это \((x-3)(x-4) > 0\). Во втором дробь имеет тот же знак, что и произведение \((x-3)^7(x-4)\), а нечётная степень знак не меняет, поэтому и оно равносильно \((x-3)(x-4) > 0\). Оба условия совпали:

\[x \in (-\infty;\ 3) \cup (4;\ +\infty).\]

Преобразование

Вносим коэффициент 7 под логарифм, восьмёрку записываем как \(\log_3 3^8\) и собираем всё под один логарифм:

\[\log_3\frac{\left(x^2 - 7x + 12\right)^7}{3^8\cdot \dfrac{(x-3)^7}{x-4}} \leqslant 0.\]

В числителе \(\left(x^2-7x+12\right)^7 = (x-3)^7(x-4)^7\), поэтому множители \((x-3)^7\) сокращаются, а \((x-4)\) из знаменателя переходит наверх:

\[\log_3\frac{(x-4)^8}{3^8} \leqslant 0.\]

Откуда берётся модуль

Дробь под логарифмом — это восьмая степень: \(\dfrac{(x-4)^8}{3^8} = \left(\dfrac{x-4}{3}\right)^8\). Вынося чётную степень из-под логарифма, обязаны взять модуль основания:

\[\log_3\left(\frac{|x-4|}{3}\right)^{8} = 8\log_3\frac{|x-4|}{3} \leqslant 0, \qquad \log_3\frac{|x-4|}{3} \leqslant 0.\]

Пропустить модуль здесь нельзя: на области допустимых значений есть участок \(x < 3\), где \(x - 4\) отрицательно.

Снятие логарифма

Основание \(3 > 1\), поэтому логарифм не превосходит нуля ровно тогда, когда его аргумент не превосходит единицы:

\[\frac{|x-4|}{3} \leqslant 1, \qquad |x - 4| \leqslant 3 \quad\Longleftrightarrow\quad -3 \leqslant x - 4 \leqslant 3 \quad\Longleftrightarrow\quad 1 \leqslant x \leqslant 7.\]

Пересечение с областью допустимых значений

Ответ: \(x \in [1;\ 3) \cup (4;\ 7]\).

Числитель

Приведём все степени к основанию \(2^x\):

\[2^{3x} = \left(2^x\right)^3, \qquad 2\cdot 4^{x+1} = 2\cdot 4\cdot 4^x = 8\left(2^x\right)^2, \qquad 5\cdot 2^{x+2} = 5\cdot 4\cdot 2^x = 20\cdot 2^x.\]

Обозначим \(t = 2^x\). Числитель превращается в кубический многочлен

\[t^3 - 8t^2 + 20t - 16.\]

Подбором находим корень \(t = 2\): \(8 - 32 + 40 - 16 = 0\). Делим на \(t-2\):

\[t^3 - 8t^2 + 20t - 16 = (t-2)\left(t^2 - 6t + 8\right) = (t-2)^2(t-4).\]

Обратная замена, причём \(2 = 2^1\) и \(4 = 2^2\):

\[\frac{\left(2^x - 2^1\right)^2\left(2^x - 2^2\right)}{x - 1} \geqslant 0.\]

Рационализация

Разность \(a^{f} - a^{g}\) при \(a > 1\) имеет тот же знак, что и \(f - g\). Заменяем каждую скобку на разность показателей:

\[\frac{(x-1)^2(x-2)}{x - 1} \geqslant 0.\]

Множитель \((x-1)\) сокращается, но точка \(x = 1\) остаётся выколотой — она обнуляет знаменатель исходной дроби.

Метод интервалов

Ответ: \(x \in (-\infty;\ 1) \cup [2;\ +\infty)\).

Замена

Запишем \(2^{x+1} = 2\cdot 2^x\) и положим \(t = 2^x\). Важно помнить: показательная функция принимает только положительные значения, поэтому \(t > 0\) — это пригодится в конце.

\[\frac{2}{t + 10} \leqslant \frac{3}{2t - 1}.\]

Переносить дроби крест-накрест нельзя: знаки знаменателей неизвестны. Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю:

\[\frac{2(2t-1) - 3(t+10)}{(t+10)(2t-1)} \leqslant 0, \qquad \frac{4t - 2 - 3t - 30}{(t+10)(2t-1)} \leqslant 0, \qquad \frac{t - 32}{(t+10)(2t-1)} \leqslant 0.\]

Метод интервалов

Нули знаменателя \(-10\) и \(\dfrac{1}{2}\) выколоты, нуль числителя \(32\) закрашен.

\[t \in (-\infty;\ -10) \cup \left(\frac{1}{2};\ 32\right].\]

Обратная замена

Так как \(t = 2^x > 0\), первый промежуток решений не даёт: неравенство \(2^x < -10\) невозможно. Остаётся

\[\frac{1}{2} < 2^x \leqslant 32 \quad\Longleftrightarrow\quad 2^{-1} < 2^x \leqslant 2^5 \quad\Longleftrightarrow\quad -1 < x \leqslant 5.\]

Ответ: \(x \in (-1;\ 5]\).

Числитель

Группируем слагаемые попарно и выносим общий множитель:

\[x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x-1) - (x-1) = (x-1)\left(x^2-1\right) = (x-1)^2(x+1).\]

Знаменатель

Это полный квадрат относительно \(3^{x^2}\): действительно, \(9^{x^2} = \left(3^{x^2}\right)^2\), а \(18 = 2\cdot 9\), поэтому

\[9^{x^2} - 18\cdot 3^{x^2} + 81 = \left(3^{x^2}\right)^2 - 2\cdot 3^{x^2}\cdot 9 + 9^2 = \left(3^{x^2} - 9\right)^2.\]

Неравенство принимает вид

\[\frac{(x-1)^2(x+1)}{\left(3^{x^2} - 9\right)^2} \leqslant 0.\]

Ключевое наблюдение

Знаменатель — квадрат, значит он положителен всюду, где не равен нулю. Поэтому знак дроби целиком задаётся числителем, а знаменатель лишь выкалывает точки:

\[\begin{cases} (x-1)^2(x+1) \leqslant 0,\\[2pt] \left(3^{x^2} - 9\right)^2 \neq 0. \end{cases}\]

Метод интервалов для числителя

Множитель \((x-1)^2\) стоит в чётной степени, поэтому при переходе через точку \(x = 1\) знак не меняется. Но само значение в этой точке равно нулю, а ноль неравенству \(\leqslant 0\) удовлетворяет — значит \(x = 1\) входит в ответ как отдельная точка.

\[x \in (-\infty;\ -1] \cup \{1\}.\]

Выколотые точки

\[3^{x^2} \neq 9 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 \neq 2 \quad\Longleftrightarrow\quad x \neq \pm\sqrt{2}.\]

Из найденного множества выпадает только \(x = -\sqrt{2}\): точка \(+\sqrt{2}\) в него и не входила.

Ответ: \(x \in \left(-\infty;\ -\sqrt{2}\right) \cup \left(-\sqrt{2};\ -1\right] \cup \{1\}\).

Область допустимых значений

Все логарифмы должны существовать, а те, на которые делят, — не обращаться в ноль:

\[\begin{cases} x > 0, \\ \log_2 x \neq 0, \\ \log_2 x^2 \neq 0 \end{cases}\]\[\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x > 0, \\ x \neq 1. \end{cases}\]

Итого \(x \in (0;1) \cup (1;+\infty)\).

Преобразование

Раскрываем логарифм частного слева и выносим показатель справа:

\[\log_2\frac{4}{x} = \log_2 4 - \log_2 x = 2 - \log_2 x,\]\[\log_2 x^2 = 2\log_2 x.\]

Здесь важно, что \(\log_2 x^2 = 2\log_2 x\) законно: по области допустимых значений \(x > 0\). Неравенство принимает вид

\[\frac{4}{\log_2 x} - 2 + \log_2 x \leqslant \frac{38}{2\log_2 x} = \frac{19}{\log_2 x}.\]

Замена

Положим \(\log_2 x = t\), причём \(t \neq 0\):

\[\frac{4}{t} - 2 + t \leqslant \frac{19}{t},\]\[\frac{4 - 2t + t^2 - 19}{t} \leqslant 0,\]\[\frac{t^2-2t-15}{t} \leqslant 0,\]\[\frac{(t+3)(t-5)}{t} \leqslant 0.\]

\[t \in (-\infty;\,-3] \cup (0;\,5].\]

Обратная замена

Возвращаемся к \(x\), пользуясь возрастанием логарифма по основанию \(2 > 1\):

\[\log_2 x \leqslant -3\quad \Longleftrightarrow\]\[0 < x \leqslant 2^{-3} = \frac{1}{8},\]

\[0 < \log_2 x \leqslant 5\quad \Longleftrightarrow\]\[1 < x \leqslant 2^5 = 32.\]

Ответ: \(x \in \left(0;\ \dfrac{1}{8}\right] \cup (1;\ 32]\).

Область допустимых значений

Основание должно быть положительным и не равным единице, а оба выражения под логарифмами — положительными:

\[\begin{cases} x+1 > 0, \\ x+1 \neq 1, \\ x^2-5x+7 > 0, \\ x > 0. \end{cases}\]

У трёхчлена \(x^2-5x+7\) дискриминант отрицателен (\(D = 25-28 = -3\)), поэтому третье условие выполняется при всех \(x\). Из остальных самым сильным оказывается \(x > 0\) — оно автоматически даёт и \(x > -1\), и \(x \neq 0\). Итого

\[x > 0.\]

Способ 1: рационализация

Справа и слева стоят логарифмы по одному основанию, а всё неравенство сводится к сравнению с нулём. Знак разности логарифмов по основанию \(a\) совпадает со знаком произведения \((a-1)\cdot(\text{разность аргументов})\), поэтому на области допустимых значений

\[(x+1-1)\cdot\left(x^2-5x+7-x\right) \leqslant 0, \qquad x\cdot\left(x^2-6x+7\right) \leqslant 0.\]

Находим нули второй скобки:

\[x^2-6x+7 = 0, \qquad D = 36 - 28 = 8, \qquad x_{1,2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}.\]

\[x\cdot\left(x-3-\sqrt{2}\right)\left(x-3+\sqrt{2}\right) \leqslant 0.\]

Неравенство выполняется на \((-\infty;\,0] \cup \left[3-\sqrt{2};\ 3+\sqrt{2}\right]\). Пересекая с условием \(x > 0\), первый кусок отбрасываем целиком.

Способ 2: сравнение аргументов

На области допустимых значений \(x > 0\), поэтому основание \(x+1 > 1\). Логарифм с таким основанием возрастает, значит при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

\[x^2-5x+7 \leqslant x, \qquad x^2-6x+7 \leqslant 0, \qquad \left(x-3-\sqrt{2}\right)\left(x-3+\sqrt{2}\right) \leqslant 0.\]

Получаем \(x \in \left[3-\sqrt{2};\ 3+\sqrt{2}\right]\). Так как \(3-\sqrt{2} \approx 1{,}59 > 0\), весь промежуток лежит в области допустимых значений.

Ответ: \(x \in \left[3-\sqrt{2};\ 3+\sqrt{2}\right]\).