№16. Неравенства

Идея решения

Главный соблазн — умножить обе части на знаменатель. Так делать нельзя: знак \(\log_5(x-5)\) заранее неизвестен. Правильный путь один — перенести единицу влево, привести к одной дроби и работать методом интервалов.

Шаг 1. Область допустимых значений

Оба логарифма должны существовать, а на нижний ещё и делят, поэтому он не должен обращаться в ноль:

\[\begin{cases}5x-27 > 0,\\ x-5 > 0,\\ \log_5(x-5) \neq 0.\end{cases}\]

Первое: \(x > 5{,}4\). Второе: \(x > 5\). Третье: \(x-5 \neq 1\), то есть \(x \neq 6\).

Условие \(x > 5{,}4\) сильнее, чем \(x > 5\), поэтому

\[\text{ОДЗ}:\quad x > 5{,}4,\qquad x \neq 6.\]

Важно! Условие \(x \neq 6\) забывают чаще всего. Логарифм в знаменателе — это не просто «что-то под логарифмом больше нуля»: сам логарифм не должен быть нулём. При \(x = 6\) получается \(\log_5 1 = 0\) и деление на ноль.

Шаг 2. Переносим единицу влево

\[\frac{\log_5(5x-27)}{\log_5(x-5)} - 1 \geqslant 0,\]

\[\frac{\log_5(5x-27) - \log_5(x-5)}{\log_5(x-5)} \geqslant 0.\]

Разность логарифмов с одинаковым основанием — логарифм частного:

\[\frac{\log_5\dfrac{5x-27}{x-5}}{\log_5(x-5)} \geqslant 0.\]

Важно! Умножать обе части исходного неравенства на \(\log_5(x-5)\) нельзя: на ОДЗ этот логарифм бывает и положительным, и отрицательным, а при умножении на отрицательное знак неравенства меняется. Перенос единицы влево эту проблему снимает полностью.

Шаг 3. Знак числителя

Логарифм по основанию \(5 > 1\) неотрицателен тогда и только тогда, когда его аргумент не меньше единицы:

\[\log_5\frac{5x-27}{x-5} \geqslant 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{5x-27}{x-5} \geqslant 1.\]

Переносим единицу и приводим к общему знаменателю:

\[\frac{5x-27}{x-5} - 1 \geqslant 0,\qquad \frac{5x-27-(x-5)}{x-5} \geqslant 0,\qquad \frac{4x-22}{x-5} \geqslant 0.\]

На ОДЗ \(x > 5{,}4\), поэтому \(x - 5 > 0\), и дробь неотрицательна ровно тогда, когда неотрицателен числитель:

\[4x - 22 \geqslant 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \geqslant 5{,}5.\]

Шаг 4. Знак знаменателя

\[\log_5(x-5) > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x-5 > 1 \quad\Longleftrightarrow\quad x > 6,\]

а при \(5{,}4 < x < 6\) знаменатель отрицателен.

Шаг 5. Собираем знаки дроби

Дробь неотрицательна, когда числитель и знаменатель одного знака (числителю при этом разрешено быть нулём).

На промежутке \((5{,}4;\ 6)\) знаменатель отрицателен, значит нужен неположительный числитель, то есть \(x \leqslant 5{,}5\). Получаем \((5{,}4;\ 5{,}5]\).

На промежутке \((6;\ +\infty)\) знаменатель положителен, значит нужен неотрицательный числитель, то есть \(x \geqslant 5{,}5\) — это выполнено на всём промежутке. Получаем \((6;\ +\infty)\).

Шаг 6. Проверяем концы

Точка \(x = 5{,}5\) входит: там числитель равен нулю, а вся дробь равна нулю, что неравенство \(\geqslant 0\) допускает. Точки \(x = 5{,}4\) и \(x = 6\) выколоты: первая не входит в ОДЗ, во второй знаменатель обращается в ноль.

Ответ

\[x \in (5{,}4;\ 5{,}5] \cup (6;\ +\infty).\]

Ответ: \(x \in (5{,}4;\ 5{,}5] \cup (6;\ +\infty)\)

Идея решения

Два логарифма слева складываются в один — и множитель \(4+3x-x^2\) при этом сократится. Но сократиться он имеет право только после того, как мы найдём область допустимых значений: именно там записан его знак. Поэтому сначала ОДЗ, и только потом преобразования.

Шаг 1. Раскладываем квадратный трёхчлен

Выражение \(4+3x-x^2\) встречается трижды, поэтому сразу разложим его на множители:

\[4+3x-x^2 = -\left(x^2-3x-4\right) = -(x-4)(x+1) = (4-x)(x+1).\]

Шаг 2. Область допустимых значений

Под каждым логарифмом должно стоять строго положительное число:

\[\begin{cases}(x-2)(4-x)(x+1) > 0,\\ \dfrac{6-x}{(4-x)(x+1)} > 0,\\ x+3 > 0.\end{cases}\]

Первое условие. Корни: \(-1\), \(2\), \(4\). Расставим знаки произведения \((x-2)(4-x)(x+1)\) на промежутках:

Получаем \(x < -1\) или \(2 < x < 4\).

Второе условие. Корни числителя и знаменателя: \(6\), \(4\), \(-1\).

Получаем \(-1 < x < 4\) или \(x > 6\).

Третье условие даёт \(x > -3\).

Пересекаем все три. Кусок \(x < -1\) из первого условия не проходит второе, кусок \(x > 6\) из второго не проходит первое. Остаётся

\[\text{ОДЗ}: \quad x \in (2;\ 4).\]

Важно! Здесь ОДЗ — половина задачи, а не формальность. После сокращения множитель \(4+3x-x^2\) из неравенства исчезнет, и если ОДЗ не найти, в ответ попадут лишние промежутки, на которых логарифмы вообще не существуют.

Шаг 3. Сворачиваем логарифмы

На ОДЗ все три выражения \(x-2\), \(4+3x-x^2\) и \(6-x\) положительны, поэтому сумму логарифмов можно записать как логарифм произведения:

\[\log_2\left((x-2)\left(4+3x-x^2\right)\cdot\frac{6-x}{4+3x-x^2}\right) = \log_2\left((x-2)(6-x)\right).\]

Правую часть тоже соберём в один логарифм. Так как \(-1 = \log_2\dfrac12\), получаем

\[-1 + \log_2(x+3) = \log_2\frac{x+3}{2}.\]

Неравенство принимает вид

\[\log_2\left((x-2)(6-x)\right) \leqslant \log_2\frac{x+3}{2}.\]

Шаг 4. Снимаем логарифмы

Основание \(2 > 1\), логарифмическая функция возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется:

\[(x-2)(6-x) \leqslant \frac{x+3}{2}.\]

Важно! Снимать логарифмы можно только после того, как ОДЗ уже записано отдельно. Само неравенство \((x-2)(6-x) \leqslant \dfrac{x+3}{2}\) «не помнит» про ограничения — их придётся учесть в самом конце.

Шаг 5. Решаем квадратное неравенство

\[2(x-2)(6-x) \leqslant x+3,\]

\[2\left(-x^2+8x-12\right) \leqslant x+3,\]

\[-2x^2+16x-24 \leqslant x+3,\]

\[0 \leqslant 2x^2-15x+27.\]

Найдём корни: \(D = 225 - 216 = 9\), \(\sqrt{D} = 3\),

\[x_{1,2} = \frac{15 \pm 3}{4} \quad\Longrightarrow\quad x_1 = 3,\qquad x_2 = 4{,}5.\]

Ветви параболы направлены вверх, поэтому \(2x^2-15x+27 \geqslant 0\) вне корней:

\[x \leqslant 3 \quad\text{или}\quad x \geqslant 4{,}5.\]

Шаг 6. Пересекаем с ОДЗ

ОДЗ — это промежуток \((2;\ 4)\). Кусок \(x \geqslant 4{,}5\) с ним не пересекается совсем, а кусок \(x \leqslant 3\) даёт

\[x \in (2;\ 3].\]

Важно! Обратите внимание на концы. Точка \(x = 2\) в ответ не входит: там \(x-2=0\) и первый логарифм не существует. А точка \(x = 3\) входит: обе части равны \(\log_2 3\), а неравенство нестрогое.

Ответ

\[x \in (2;\ 3].\]

Ответ: \(x \in (2;\ 3]\)

Переносим всё влево

Сравнивать с числом нельзя: знак знаменателя неизвестен, и умножать на него без разбора случаев запрещено. Переносим \(0{,}5\) влево и приводим к общему знаменателю:

\[\frac{117 - 15\cdot 3^x}{9^x - 36\cdot 3^x + 243} - \frac12 \geqslant 0,\]

\[\frac{2\left(117 - 15\cdot 3^x\right) - \left(9^x - 36\cdot 3^x + 243\right)}{2\left(9^x - 36\cdot 3^x + 243\right)} \geqslant 0,\]

\[\frac{234 - 30\cdot 3^x - 9^x + 36\cdot 3^x - 243}{2\left(9^x - 36\cdot 3^x + 243\right)} \geqslant 0, \qquad \frac{-9^x + 6\cdot 3^x - 9}{9^x - 36\cdot 3^x + 243} \geqslant 0.\]

Разложение

Умножим числитель и знаменатель на \(-1\); знак неравенства при этом меняется на противоположный. В числителе сворачивается квадрат разности:

\[\frac{\left(3^x\right)^2 - 6\cdot 3^x + 9}{\left(3^x\right)^2 - 36\cdot 3^x + 243} \leqslant 0, \qquad \frac{\left(3^x - 3^1\right)^2}{\left(3^x - 3^3\right)\left(3^x - 3^2\right)} \leqslant 0.\]

Здесь знаменатель разложен как квадратный трёхчлен относительно \(3^x\) с корнями 27 и 9.

Рационализация

Основание \(3 > 1\), поэтому заменяем разности степеней разностями показателей:

\[\frac{(x-1)^2}{(x-3)(x-2)} \leqslant 0.\]

Метод интервалов

Числитель в чётной степени — знак при переходе через \(x = 1\) не меняется, но само значение там равно нулю и подходит. Значит \(x = 1\) входит в ответ отдельной точкой.

Ответ: \(x \in \{1\} \cup (2;\ 3)\).

Общий знаменатель

Разложим знаменатель третьей дроби. Так как \(4^x = \left(2^x\right)^2\),

\[4^x - 12\cdot 2^x + 32 = \left(2^x\right)^2 - 12\cdot 2^x + 32 = \left(2^x - 8\right)\left(2^x - 4\right).\]

Это ровно произведение знаменателей первых двух дробей, так что общий знаменатель уже найден:

\[\frac{2^x\left(2^x - 4\right) + \left(2^x + 8\right)\left(2^x - 8\right) + 66}{\left(2^x - 8\right)\left(2^x - 4\right)} \leqslant 0.\]

Числитель

Раскрываем скобки, пользуясь разностью квадратов во втором слагаемом:

\[\left(2^x\right)^2 - 4\cdot 2^x + \left(2^x\right)^2 - 64 + 66 = 2\left(2^x\right)^2 - 4\cdot 2^x + 2.\]

Двойка положительна, её можно сократить. Остаётся полный квадрат:

\[\left(2^x\right)^2 - 2\cdot 2^x + 1 = \left(2^x - 1\right)^2.\]

Неравенство принимает вид

\[\frac{\left(2^x - 2^0\right)^2}{\left(2^x - 2^3\right)\left(2^x - 2^2\right)} \leqslant 0.\]

Рационализация

Основание \(2 > 1\), поэтому каждую разность степеней заменяем разностью показателей:

\[\frac{x^2}{(x-3)(x-2)} \leqslant 0.\]

Метод интервалов

Числитель \(x^2\) стоит в чётной степени, поэтому при переходе через ноль знак не меняется. Но в самой точке \(x = 0\) дробь равна нулю, а ноль нестрогому неравенству удовлетворяет — значит \(x = 0\) входит в ответ отдельной точкой.

Ответ: \(x \in \{0\} \cup (2;\ 3)\).

Область допустимых значений

Оба логарифмируемых выражения положительны. Разложим трёхчлен: \(x^2-13x+42 = (x-6)(x-7)\). Тогда первое условие — это \((x-6)(x-7) > 0\). Во второй дроби нечётная степень знак не меняет, поэтому \(\dfrac{(x-7)^7}{x-6} > 0\) равносильно тому же \((x-7)(x-6) > 0\). Условия совпали:

\[x \in (-\infty;\ 6) \cup (7;\ +\infty).\]

Преобразование

Вносим семёрку под логарифм, восьмёрку записываем как \(\log_{12}12^8\) и собираем всё в один логарифм:

\[\log_{12}\frac{\left(x^2-13x+42\right)^7}{12^8\cdot\dfrac{(x-7)^7}{x-6}} \leqslant 0.\]

В числителе \(\left(x^2-13x+42\right)^7 = (x-6)^7(x-7)^7\), поэтому \((x-7)^7\) сокращается, а \((x-6)\) из знаменателя переходит наверх:

\[\log_{12}\frac{(x-6)^8}{12^8} \leqslant 0.\]

Откуда берётся модуль

Под логарифмом стоит восьмая степень: \(\dfrac{(x-6)^8}{12^8} = \left(\dfrac{x-6}{12}\right)^8\). Вынося чётную степень, обязаны взять модуль:

\[8\log_{12}\frac{|x-6|}{12} \leqslant 0, \qquad \log_{12}\frac{|x-6|}{12} \leqslant 0.\]

Модуль здесь не формальность: на области допустимых значений есть участок \(x < 6\), где \(x - 6\) отрицательно.

Снятие логарифма

Основание \(12 > 1\), поэтому логарифм не превосходит нуля ровно тогда, когда аргумент не превосходит единицы:

\[\frac{|x-6|}{12} \leqslant 1, \qquad |x-6| \leqslant 12 \quad\Longleftrightarrow\quad -12 \leqslant x - 6 \leqslant 12 \quad\Longleftrightarrow\quad -6 \leqslant x \leqslant 18.\]

Пересечение с областью допустимых значений

Ответ: \(x \in [-6;\ 6) \cup (7;\ 18]\).

Числитель

Это куб разности, только записанный вразброс. Приведём все слагаемые к виду \(\left(3^x\right)^k\cdot 9^{\,3-k}\):

\[27^x = \left(3^x\right)^3, \qquad 3\cdot 9^{x+1} = 3\cdot 9\cdot 9^x = 3\left(3^x\right)^2\cdot 9, \qquad 3^{x+5} = 3^x\cdot 243 = 3\cdot 3^x\cdot 9^2, \qquad 729 = 9^3.\]

Получилась формула \(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\) при \(a = 3^x\) и \(b = 9\):

\[27^x - 3\cdot 9^{x+1} + 3^{x+5} - 729 = \left(3^x - 9\right)^3.\]

Знаменатель

Выносим двойку и сворачиваем квадрат суммы:

\[50x^2 + 10x + 0{,}5 = 2\left(25x^2 + 5x + \frac{1}{4}\right) = 2\left(5x + \frac{1}{2}\right)^2.\]

Неравенство принимает вид

\[\frac{\left(3^x - 3^2\right)^3}{2\left(5x + \frac{1}{2}\right)^2} \leqslant 0.\]

Рационализация

Основание \(3 > 1\), поэтому разность \(3^x - 3^2\) имеет тот же знак, что и разность показателей \(x - 2\). Третья степень знак не меняет, а положительный множитель 2 в знаменателе можно отбросить:

\[\frac{(x-2)^3}{\left(5x + \frac{1}{2}\right)^2} \leqslant 0.\]

Метод интервалов

Знаменатель — квадрат, поэтому он положителен всюду, кроме точки \(x = -0{,}1\), где обращается в ноль. Эта точка выколота, но знак при переходе через неё не меняется — знак задаёт только числитель.

Ответ: \(x \in (-\infty;\ -0{,}1) \cup (-0{,}1;\ 2]\).