№16. Неравенства

Идея решения

Сначала ОДЗ — и оно сразу снимает модуль: логарифмы требуют \(x > 0\), а тогда \(|x| = x\). Дальше остаётся найти нули двух логарифмов и нуль знаменателя и расставить знаки.

Шаг 1. Область допустимых значений

Под логарифмами должны стоять положительные числа:

\[9x > 0 \ \text{и}\ 64x > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x > 0.\]

Важно! Как только записано \(x > 0\), модуль раскрывается однозначно: \(|x| = x\). Разбирать случай \(x < 0\) не нужно — там логарифмов просто не существует. Это экономит половину решения.

Теперь знаменатель:

\[5x^2-|x| = 5x^2 - x = x(5x-1).\]

Он не должен быть нулём: \(x \neq 0\) (уже есть) и

\[5x-1 \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \neq \frac15.\]

Итого \(\text{ОДЗ}: x > 0,\ x \neq \dfrac15\).

Шаг 2. Знак знаменателя

При \(x > 0\) первый множитель положителен, поэтому знак произведения \(x(5x-1)\) совпадает со знаком \(5x-1\):

\[x(5x-1) > 0 \ \text{при}\ x > \frac15,\qquad x(5x-1) < 0 \ \text{при}\ 0 < x < \frac15.\]

Шаг 3. Нули числителя

\[\log_3(9x) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 9x = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad x = \frac19,\]

\[\log_4(64x) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 64x = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad x = \frac{1}{64}.\]

Оба основания больше единицы, значит логарифмы возрастают: каждый из них отрицателен левее своего нуля и положителен правее.

Расположим все три особые точки по возрастанию:

\[\frac{1}{64} = 0{,}015625 \ <\ \frac19 \approx 0{,}111 \ <\ \frac15 = 0{,}2.\]

Шаг 4. Метод интервалов

Работаем только на луче \(x > 0\), точки \(\dfrac{1}{64}\), \(\dfrac19\), \(\dfrac15\) делят его на четыре промежутка. Разберём знаки по очереди:

На \(\left(0;\ \dfrac{1}{64}\right)\): оба логарифма отрицательны, их произведение положительно; знаменатель отрицателен — дробь отрицательна.

На \(\left(\dfrac{1}{64};\ \dfrac19\right)\): \(\log_4(64x) > 0\), а \(\log_3(9x) < 0\), произведение отрицательно; знаменатель отрицателен — дробь положительна.

На \(\left(\dfrac19;\ \dfrac15\right)\): оба логарифма положительны, произведение положительно; знаменатель отрицателен — дробь отрицательна.

На \(\left(\dfrac15;\ +\infty\right)\): числитель положителен и знаменатель положителен — дробь положительна.

Шаг 5. Концы

Точки \(x = \dfrac{1}{64}\) и \(x = \dfrac19\) обращают числитель в ноль, дробь равна нулю — неравенство \(\leqslant 0\) это допускает, они входят в ответ. Точка \(x = \dfrac15\) обнуляет знаменатель и выколота, а \(x = 0\) не входит в ОДЗ.

Ответ

\[x \in \left(0;\ \frac{1}{64}\right] \cup \left[\frac19;\ \frac15\right).\]

Ответ: \(x \in \left(0;\ \dfrac{1}{64}\right] \cup \left[\dfrac19;\ \dfrac15\right)\)

Идея решения

Модуль здесь можно не раскрывать по случаям. Достаточно умножить обе части на \(|x-3|\) — это положительное число, знак неравенства не изменится. Тогда во втором слагаемом появится \(|x-3|^2\), а квадрат модуля равен квадрату самого выражения. Модуль исчезает сам.

Шаг 1. Область допустимых значений

На \(|x-3|\) делят, поэтому

\[|x-3| \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \text{ОДЗ}: x \neq 3.\]

Шаг 2. Умножаем на модуль

При \(x \neq 3\) число \(|x-3|\) строго положительно, поэтому умножение на него обе части не переворачивает:

\[x^3-27 - x\,|x-3|^2 \geqslant 0.\]

Теперь пользуемся тем, что квадрат модуля равен квадрату выражения:

\[|x-3|^2 = (x-3)^2,\]

\[x^3-27 - x(x-3)^2 \geqslant 0.\]

Важно! Именно это и есть главный приём задачи: не разбирать два случая \(x > 3\) и \(x < 3\), а избавиться от модуля через тождество \(|a|^2 = a^2\). Разбор случаев тоже приведёт к ответу, но займёт вдвое больше времени.

Шаг 3. Раскладываем на множители

Разность кубов: \(x^3-27 = (x-3)\left(x^2+3x+9\right)\). Выносим общий множитель \((x-3)\):

\[(x-3)\left(x^2+3x+9\right) - x(x-3)^2 \geqslant 0,\]

\[(x-3)\left[x^2+3x+9 - x(x-3)\right] \geqslant 0.\]

Упрощаем квадратную скобку:

\[x^2+3x+9 - x^2+3x = 6x+9.\]

Получаем

\[(x-3)(6x+9) \geqslant 0,\qquad 3(x-3)(2x+3) \geqslant 0,\]

\[(x-3)(2x+3) \geqslant 0.\]

Шаг 4. Метод интервалов

Корни: \(x = 3\) и \(x = -\dfrac32 = -1{,}5\). Парабола с ветвями вверх, поэтому произведение неотрицательно вне корней:

Шаг 5. Учитываем ОДЗ

Точка \(x = -1{,}5\) закрашена: там левая часть исходного неравенства равна нулю. А вот \(x = 3\) в ответ не входит, хотя произведение там и обращается в ноль: в этой точке исходное выражение не определено — деление на \(|x-3| = 0\).

Важно! Классическая ловушка. После умножения на \(|x-3|\) точка \(x = 3\) становится «законным» корнем нового неравенства, но в исходном её нет. Всегда возвращайтесь к ОДЗ в самом конце.

Ответ

\[x \in \left(-\infty;\ -\frac32\right] \cup (3;\ +\infty).\]

Ответ: \(x \in \left(-\infty;\ -\dfrac32\right] \cup (3;\ +\infty)\)

Идея решения

Крест-накрест умножать нельзя: знак правого знаменателя неизвестен. Переносим всё в одну сторону, приводим к общему знаменателю — и замечаем, что один из множителей знаменателя положителен всегда, а значит, на него можно спокойно сократить.

Шаг 1. Область допустимых значений

Знаменатели не должны обращаться в ноль. Выражение \(3^{\,x}+27\) положительно при любом \(x\), а вот

\[3^{\,x}-27 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3^{\,x} = 3^3 \quad\Longleftrightarrow\quad x = 3.\]

Значит, \(\text{ОДЗ}: x \neq 3\).

Шаг 2. Переносим всё влево

\[\frac{2}{3^{\,x}+27} - \frac{1}{3^{\,x}-27} \geqslant 0.\]

Важно! Умножать обе части «крест-накрест» строго запрещено: множитель \(3^{\,x}-27\) при \(x < 3\) отрицателен, и знак неравенства тогда меняется. Ошибка на этом шаге стоит всей задачи.

Приводим к общему знаменателю:

\[\frac{2\left(3^{\,x}-27\right) - \left(3^{\,x}+27\right)} {\left(3^{\,x}+27\right)\left(3^{\,x}-27\right)} \geqslant 0.\]

Раскрываем числитель:

\[2\cdot 3^{\,x} - 54 - 3^{\,x} - 27 = 3^{\,x} - 81.\]

Получаем

\[\frac{3^{\,x}-81}{\left(3^{\,x}+27\right)\left(3^{\,x}-27\right)} \geqslant 0.\]

Шаг 3. Убираем заведомо положительный множитель

Так как \(3^{\,x} > 0\), то \(3^{\,x}+27 > 27 > 0\) при любом \(x\). Деление на положительное число знак неравенства не меняет, поэтому этот множитель можно просто выбросить:

\[\frac{3^{\,x}-81}{3^{\,x}-27} \geqslant 0.\]

Шаг 4. От показательных выражений — к линейным

Запишем \(81 = 3^4\) и \(27 = 3^3\). Показательная функция с основанием \(3 > 1\) возрастает, поэтому

\[3^{\,x} - 3^4 \ \text{имеет тот же знак, что}\ x - 4,\]

\[3^{\,x} - 3^3 \ \text{имеет тот же знак, что}\ x - 3.\]

Значит, знак всей дроби совпадает со знаком дроби \(\dfrac{x-4}{x-3}\).

Важно! Этот приём экономит замену переменной. Работает он только для возрастающей показательной функции, то есть при основании больше единицы. При основании меньше единицы знаки были бы противоположными.

Шаг 5. Метод интервалов

Нуль числителя \(x = 4\) закрашен (неравенство нестрогое, дробь там равна нулю), нуль знаменателя \(x = 3\) выколот.

Ответ

\[x \in (-\infty;\ 3) \cup [4;\ +\infty).\]

Ответ: \(x \in (-\infty;\ 3) \cup [4;\ +\infty)\)

Идея решения

В числителе четыре слагаемых — значит, надо пробовать группировку. Ключ в том, что \(15^{\,x} = 3^{\,x}\cdot 5^{\,x}\): после этого числитель раскладывается на два множителя, и дальше работает обычный метод интервалов.

Шаг 1. Раскладываем числитель на множители

Распишем каждое слагаемое:

\[15^{\,x} = (3\cdot 5)^{x} = 3^{\,x}\cdot 5^{\,x},\qquad 3^{\,x+1} = 3\cdot 3^{\,x},\qquad 5^{\,x+1} = 5\cdot 5^{\,x}.\]

Числитель принимает вид

\[3^{\,x}\cdot 5^{\,x} - 3\cdot 3^{\,x} - 5\cdot 5^{\,x} + 15.\]

Группируем первые два слагаемых и последние два:

\[3^{\,x}\left(5^{\,x} - 3\right) - 5\left(5^{\,x} - 3\right) = \left(5^{\,x} - 3\right)\left(3^{\,x} - 5\right).\]

Важно! Группировка получилась только потому, что во второй паре вынесли \(-5\), а не \(5\): \(-5\cdot 5^{\,x} + 15 = -5\left(5^{\,x} - 3\right)\). Если вынести \(5\), общей скобки не выйдет, и разложение не соберётся.

Шаг 2. Разбираемся со знаменателем

\[-x^2+2x = -x(x-2) = x(2-x).\]

Знаменатель не должен быть нулём, поэтому

\[\text{ОДЗ}:\quad x \neq 0,\qquad x \neq 2.\]

Знаменатель положителен ровно при \(0 < x < 2\) (парабола с ветвями вниз и корнями \(0\) и \(2\)) и отрицателен вне этого промежутка.

Шаг 3. Нули числителя

\[5^{\,x} - 3 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = \log_5 3,\]

\[3^{\,x} - 5 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = \log_3 5.\]

Чтобы расставить точки на прямой, оценим оба числа. Из \(1 < 3 < 5\) следует \(0 < \log_5 3 < 1\). Из \(3 < 5 < 9\) следует \(1 < \log_3 5 < 2\). Значит,

\[0 < \log_5 3 < 1 < \log_3 5 < 2.\]

Важно! Без этой оценки метод интервалов не поставить: надо точно знать, в каком порядке идут на прямой числа \(0\), \(\log_5 3\), \(\log_3 5\) и \(2\). Оба логарифма сравниваем с единицей — это самый быстрый способ.

Шаг 4. Знак числителя

Показательная функция возрастает при основании больше единицы, поэтому \(5^{\,x} - 3\) отрицательно левее \(\log_5 3\) и положительно правее, и точно так же ведёт себя \(3^{\,x} - 5\) относительно \(\log_3 5\).

Шаг 5. Метод интервалов для всей дроби

Расставляем на одной прямой все четыре точки и перемножаем знаки числителя и знаменателя:

Дробь неотрицательна на промежутках \((0;\ \log_5 3)\) и \((\log_3 5;\ 2)\).

Шаг 6. Концы

В точках \(x = \log_5 3\) и \(x = \log_3 5\) числитель обращается в ноль, дробь равна нулю — неравенство \(\geqslant 0\) это допускает, поэтому они входят в ответ. Точки \(x = 0\) и \(x = 2\) обращают в ноль знаменатель — они выколоты.

Ответ

\[x \in \left(0;\ \log_5 3\right] \cup \left[\log_3 5;\ 2\right).\]

Ответ: \(x \in \left(0;\ \log_5 3\right] \cup \left[\log_3 5;\ 2\right)\)

Идея решения

Знаменатель выглядит страшно, но после замены \(t = 0{,}5^{\,x}\) он превращается в квадратный трёхчлен с нулевым дискриминантом, то есть в полный квадрат. А значит, он неотрицателен всегда — и знак дроби определяет один только числитель.

Шаг 1. Разбираемся со знаменателем

Сделаем замену \(t = 0{,}5^{\,x}\), причём \(t > 0\). Выразим через \(t\) оба слагаемых:

\[0{,}25^{\,x} = \left(0{,}5^2\right)^{x} = \left(0{,}5^{\,x}\right)^2 = t^2,\]

\[0{,}5^{\,x-3{,}5} = 0{,}5^{\,x}\cdot 0{,}5^{-3{,}5} = t\cdot 2^{3{,}5} = t\cdot 2^3\cdot 2^{0{,}5} = 8\sqrt2\,t.\]

Знаменатель становится равен

\[t^2 - 8\sqrt2\,t + 32.\]

Шаг 2. Это полный квадрат

Проверим дискриминант:

\[D = \left(8\sqrt2\right)^2 - 4\cdot 32 = 128 - 128 = 0.\]

Дискриминант равен нулю, значит трёхчлен сворачивается в квадрат. Подберём его: \(\left(4\sqrt2\right)^2 = 32\) и \(2\cdot 4\sqrt2 = 8\sqrt2\), поэтому

\[t^2 - 8\sqrt2\,t + 32 = \left(t - 4\sqrt2\right)^2.\]

Возвращаемся к \(x\):

\[0{,}25^{\,x} - 0{,}5^{\,x-3{,}5} + 32 = \left(0{,}5^{\,x} - 4\sqrt2\right)^2 \geqslant 0.\]

Шаг 3. Где знаменатель равен нулю

Квадрат равен нулю, когда равно нулю само выражение в скобках:

\[0{,}5^{\,x} = 4\sqrt2.\]

Приведём обе части к основанию \(2\). Слева \(0{,}5^{\,x} = 2^{-x}\), справа \(4\sqrt2 = 2^2\cdot 2^{0{,}5} = 2^{2{,}5}\), поэтому

\[2^{-x} = 2^{2{,}5} \quad\Longrightarrow\quad -x = 2{,}5 \quad\Longrightarrow\quad x = -2{,}5.\]

Значит, ОДЗ — это все числа, кроме \(x = -2{,}5\), а при остальных \(x\) знаменатель строго положителен.

Важно! Точка \(x = -2{,}5\) обязана быть выколота в ответе, хотя на знак дроби она никак не влияет. Потерять её — значит потерять балл: в этой точке дробь просто не определена.

Шаг 4. Знак дроби равен знаку числителя

Поскольку знаменатель положителен при всех \(x \neq -2{,}5\), неравенство равносильно

\[1{,}5^{\,x} - 3{,}375 \leqslant 0.\]

Шаг 5. Решаем показательное неравенство

Заметим, что \(3{,}375\) — это куб числа \(1{,}5\):

\[1{,}5^2 = 2{,}25,\qquad 2{,}25\cdot 1{,}5 = 3{,}375.\]

Поэтому

\[1{,}5^{\,x} \leqslant 1{,}5^{\,3}.\]

Основание \(1{,}5 > 1\), показательная функция возрастает, знак неравенства сохраняется:

\[x \leqslant 3.\]

Шаг 6. Выкалываем точку и записываем ответ

Из промежутка \(x \leqslant 3\) убираем точку \(x = -2{,}5\):

\[x \in (-\infty;\ -2{,}5) \cup (-2{,}5;\ 3].\]

Ответ

\[x \in (-\infty;\ -2{,}5) \cup (-2{,}5;\ 3].\]

Ответ: \(x \in (-\infty;\ -2{,}5) \cup (-2{,}5;\ 3]\)

Идея решения

Основания \(8\) и \(2\) разные, поэтому сравнивать логарифмы напрямую нельзя. Но \(8 = 2^3\), а под левым логарифмом спрятан полный куб \((x-1)^3\) — и эти две тройки взаимно уничтожатся. Останется обычное линейное неравенство.

Шаг 1. Узнаём куб разности

Коэффициенты \(1,\ -3,\ 3,\ -1\) — это формула куба разности:

\[x^3-3x^2+3x-1 = (x-1)^3.\]

Важно! Этот шаг решает всю задачу. Признак, по которому куб узнают мгновенно: первый и последний члены — точные кубы (\(x^3\) и \(1^3\)), а коэффициенты идут как \(1,\ 3,\ 3,\ 1\) со знаками через один.

Шаг 2. Область допустимых значений

\[\begin{cases}(x-1)^3 > 0,\\ x^2-1 > 0.\end{cases}\]

Куб положителен тогда же, когда и его основание, поэтому первое условие даёт \(x > 1\). Второе: \((x-1)(x+1) > 0\), то есть \(x < -1\) или \(x > 1\).

Пересечение:

\[\text{ОДЗ}:\quad x > 1.\]

Шаг 3. Приводим логарифмы к одному основанию

Переходим от основания \(8 = 2^3\) к основанию \(2\):

\[\log_8(x-1)^3 = \frac{\log_2 (x-1)^3}{\log_2 8} = \frac{3\log_2(x-1)}{3} = \log_2(x-1).\]

Важно! Тройка сверху и тройка снизу сократились только потому, что показатель степени под логарифмом и показатель в основании совпали. Если бы стояло, например, \(\log_8(x-1)^2\), никакого сокращения не было бы.

Шаг 4. Убираем пятёрку

Число \(5\) запишем как логарифм: \(5 = \log_2 32\). Тогда

\[\log_2\left(x^2-1\right) - 5 = \log_2\left(x^2-1\right) - \log_2 32 = \log_2\frac{x^2-1}{32}.\]

Неравенство принимает вид

\[\log_2(x-1) \geqslant \log_2\frac{x^2-1}{32}.\]

Шаг 5. Снимаем логарифмы

Основание \(2 > 1\), функция возрастает, знак сохраняется:

\[x-1 \geqslant \frac{x^2-1}{32} = \frac{(x-1)(x+1)}{32}.\]

На ОДЗ \(x > 1\), значит \(x - 1 > 0\), и на это положительное число можно поделить обе части, ничего не меняя:

\[1 \geqslant \frac{x+1}{32},\qquad x+1 \leqslant 32,\qquad x \leqslant 31.\]

Важно! Делить на \(x-1\) разрешено именно потому, что на ОДЗ этот множитель строго положителен. Если бы знак был неизвестен, пришлось бы переносить всё влево и раскладывать на множители.

Шаг 6. Пересекаем с ОДЗ

\[x \in (1;\ 31].\]

Ответ

\[x \in (1;\ 31].\]

Ответ: \(x \in (1;\ 31]\)