№4. Начала теории вероятностей

Шаг 1. Все исходы

\[n = 48.\]

Шаг 2. Благоприятные исходы

Нужны билеты без логарифмов:

\[m = 48 - 12 = 36.\]

Шаг 3. Делим

\[P = \dfrac{36}{48} = \dfrac34 = 0{,}75.\]

Шаг 1. Все исходы

За два броска получается четыре равновозможных исхода:

\[ОО,\quad ОР,\quad РО,\quad РР.\]

\[n = 4.\]

Шаг 2. Благоприятный исход

Орёл не должен выпасть ни разу, значит оба раза выпала решка. Такой исход один:

\[m = 1\quad (РР).\]

Шаг 3. Делим

\[P = \dfrac14 = 0{,}25.\]

Шаг 1. Все исходы

\[n = 50.\]

Шаг 2. Благоприятные исходы

Здесь, в отличие от похожих задач, вопрос по теме нужен, а не наоборот, поэтому вычитать ничего не надо:

\[m = 15.\]

Шаг 3. Делим

\[P = \dfrac{15}{50} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3.\]

Шаг 1. Что значит «начнёт с мячом»

Монета симметричная, поэтому в каждом отдельном матче команда начинает с мячом с вероятностью \(0{,}5\). Обозначим удачный для «Биолога» исход буквой \(О\), неудачный — буквой \(Р\).

Шаг 2. Считаем через независимость

Матчи проходят с разными командами, броски друг на друга не влияют, поэтому вероятности перемножаются:

\[P = 0{,}5\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5 = 0{,}5^3 = 0{,}125.\]

Шаг 3. Проверяем перебором

За три броска получается \(2^3 = 8\) равновозможных исходов, и нужный среди них ровно один — \(ООО\):

\[P = \dfrac18 = 0{,}125.\]

Шаг 1. Все исходы

\[n = 2000.\]

Шаг 2. Благоприятные исходы

Нас устраивает насос, который не подтекает:

\[m = 2000 - 12 = 1988.\]

Шаг 3. Делим

\[P = \dfrac{1988}{2000} = 0{,}994.\]

Тот же ответ даёт переход к противоположному событию: вероятность взять подтекающий насос равна \(\dfrac{12}{2000} = 0{,}006\), а \(1 - 0{,}006 = 0{,}994\).

Шаг 1. Смотрим, как устроены события

Пассажиров целое число, поэтому «меньше \(23\)» — это «не больше \(22\)», а «меньше \(14\)» — это «не больше \(13\)». Обозначим:

\(A\) — пассажиров меньше \(14\), то есть от \(0\) до \(13\);

\(B\) — пассажиров от \(14\) до \(22\) (это и нужно найти);

\(C\) — пассажиров меньше \(23\), то есть от \(0\) до \(22\).

Шаг 2. Связываем их

Событие \(C\) наступает ровно тогда, когда наступает \(A\) или \(B\), причём вместе они произойти не могут — числа \(13\) и \(14\) не совпадают. Значит события несовместны и

\[P(C) = P(A) + P(B).\]

Шаг 3. Выражаем искомое

\[P(B) = P(C) - P(A) = 0{,}87 - 0{,}61 = 0{,}26.\]