№4. Начала теории вероятностей

Шаг 1. Считаем общее число насосов

Здесь ловушка в формулировке: \(1992\) — это не все насосы, а только исправные. Всего их

\[n = 1992 + 8 = 2000.\]

Шаг 2. Благоприятные исходы

\[m = 8.\]

Шаг 3. Делим

\[P = \dfrac{8}{2000} = \dfrac{4}{1000} = 0{,}004.\]

Шаг 1. Выписываем исходы

Буквой \(О\) обозначим матч, который «Интеграл» начинает с мячом, буквой \(Р\) — матч, который начинает соперник. За два матча получается

\[n = 2^2 = 4\]

равновозможных исхода: \(ОО\), \(ОР\), \(РО\), \(РР\).

Шаг 2. Благоприятный исход

«Не начнёт ни одной» — значит оба раза начинал соперник. Такой исход один:

\[m = 1\quad (РР).\]

Шаг 3. Делим

\[P = \dfrac14 = 0{,}25.\]

Шаг 1. Разбираемся, что во что вложено

Число решённых задач целое, поэтому «больше \(9\)» — это \(10\), \(11\), \(12\) и так далее, а «больше \(10\)» — это \(11\), \(12\) и так далее. Вся разница между этими двумя событиями — ровно одно значение, \(10\).

Шаг 2. Записываем это формулой

Обозначим \(A\) — решено больше \(10\) задач, \(C\) — решено ровно \(10\) задач, \(B\) — решено больше \(9\) задач. События \(A\) и \(C\) вместе дают \(B\) и произойти одновременно не могут, значит

\[P(B) = P(A) + P(C).\]

Шаг 3. Выражаем искомое

\[P(C) = P(B) - P(A) = 0{,}8 - 0{,}75 = 0{,}05.\]

Шаг 1. Находим число гимнасток из Китая

\[m = 50 - 17 - 22 = 11.\]

Шаг 2. Все исходы

Первой может выступать любая из \(50\) спортсменок:

\[n = 50.\]

Шаг 3. Делим

\[P = \dfrac{11}{50} = \dfrac{22}{100} = 0{,}22.\]

Шаг 1. Выписываем исходы

Обозначим буквой \(О\) матч, который «Труд» начинает с мячом, буквой \(Р\) — матч, который начинает соперник. За три матча получается

\[n = 2^3 = 8\]

равновозможных последовательностей.

Шаг 2. Какая из них нужна

Слово «только» здесь ключевое: первые две игры «Труд» начинать не должен, а третью — должен. Подходит ровно одна последовательность:

\[Р\,Р\,О.\]

\[m = 1.\]

Шаг 3. Делим

\[P = \dfrac18 = 0{,}125.\]

Шаг 1. Переходим к противоположному событию

Слова «хотя бы одна» почти всегда означают: считать надо через противоположное событие. Прямой подсчёт потребовал бы разобрать случаи «ровно одна», «ровно две», «ровно три», «все четыре», а противоположное событие ровно одно:

событие \(A\) — хотя бы одна лампа не перегорит;

событие \(\overline{A}\) — перегорели все четыре лампы.

Шаг 2. Вероятность того, что перегорели все

Лампы перегорают независимо, поэтому вероятности перемножаются:

\[P(\overline{A}) = 0{,}6^4 = 0{,}1296.\]

Шаг 3. Возвращаемся к исходному событию

\[P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0{,}1296 = 0{,}8704.\]