№20. Числа и их свойства

Из набора цифр 0, 1, 2, 3, 5, 7 и 9 составляют пару чисел, используя каждую цифру ровно один раз. Оказалось, что одно из этих чисел четырёхзначное, другое — трёхзначное и оба кратны 45.

а) Может ли сумма такой пары чисел равняться 2205?

б) Может ли сумма такой пары чисел равняться 3435?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел в такой паре?

Каждое из четырёх последовательных натуральных чисел, последние цифры которых не равны нулю, поделили на его последнюю цифру. Сумма получившихся чисел равна \(S\).

а) Может ли \(S\) быть равной \(16\dfrac{5}{6}\)?

б) Может ли \(S\) быть равной \(369\dfrac{29}{126}\)?

в) Найдите наибольшее целое значение \(S\), если каждое из исходных чисел было трёхзначным.

На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6?

б) Может ли ровно одно число на доске оканчиваться на 6?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть на доске?

Над парами целых чисел проводится операция: из пары \((a;\ b)\) получается пара \((3a+b;\ 3b-a)\).

а) Можно ли из какой-то пары получить пару \((5;\ 5)\)?

б) Верно ли, что если пара \((c;\ d)\) может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции, то и пара \((-d;\ c)\) тоже может быть получена из какой-то пары с помощью данной операции?

в) Зададим расстояние между парами целых чисел \((a;\ b)\) и \((c;\ d)\) выражением \(|a-c|+|b-d|\). Найдите наименьшее расстояние от пары \((9;\ 2)\) до пары, полученной из какой-то пары с помощью данной операции.

Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров.

а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной 16 см на куски длиной 1 см?

б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 100 см на куски длиной 1 см?

в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 300 см на куски длиной 1 см?

Из пары натуральных чисел \((a;\ b)\) за один ход можно получить пару \((a+2;\ b-1)\) или \((a-1;\ b+2)\) при условии, что оба числа в новой паре положительны. Сначала есть пара \((5;\ 7)\).

а) Можно ли за 50 таких ходов получить пару, в которой одно из чисел равно 100?

б) За какое число ходов получится пара, сумма чисел в которой равна 400?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать так, чтобы после каждого хода оба числа в паре не превосходили 100?