№20. Числа и их свойства

Из правильной несократимой дроби \(\dfrac{a}{b}\), где \(a\) и \(b\) — натуральные числа, за один ход получают дробь \(\dfrac{a+b}{2a+b}\).

а) Можно ли за несколько таких ходов из дроби \(\dfrac{2}{3}\) получить дробь \(\dfrac{29}{41}\)?

б) Можно ли за два таких хода из некоторой дроби получить дробь \(\dfrac{6}{7}\)?

в) Несократимая дробь \(\dfrac{c}{d}\) больше 0,7. Найдите наименьшую дробь \(\dfrac{c}{d}\), которую нельзя получить ни из какой правильной несократимой дроби за два таких хода.

Из пары натуральных чисел \((a;\ b)\), где \(a > b\), за один ход получают пару \((a+b;\ a-b)\).

а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары \((100;\ 1)\) пару, большее число в которой равно 400?

б) Можно ли за несколько ходов получить из пары \((100;\ 1)\) пару \((806;\ 788)\)?

в) Какое наименьшее \(a\) может быть в паре \((a;\ b)\), из которой за несколько ходов можно получить пару \((806;\ 788)\)?

С трёхзначным числом производят следующую операцию: к нему прибавляют цифру десятков, умноженную на 10, а затем к получившейся сумме прибавляют 3.

а) Могло ли в результате такой операции получиться число 224?

б) Могло ли в результате такой операции получиться число 314?

в) Найдите наибольшее отношение получившегося числа к исходному.

Есть 16 монет по 2 рубля и 29 монет по 5 рублей.

а) Можно ли этими монетами набрать сумму 175 рублей?

б) Можно ли этими монетами набрать сумму 176 рублей?

в) Какое наименьшее количество монет, каждая по 1 рублю, нужно добавить, чтобы иметь возможность набрать любую целую сумму от 1 рубля до 180 рублей включительно?

Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала \(m\) фотографий, а Наташа — \(n\) фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за всё время сделала суммарно на 1615 фотографию больше, чем Маша, и фотографировали они больше одного дня.

а) Могли ли они фотографировать в течение пяти дней?

б) Могли ли они фотографировать в течение шести дней?

в) Какое наибольшее суммарное число фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 30 фотографий?

По кругу в некотором порядке расставлены натуральные числа от 1 до 12. Между каждыми двумя соседними числами написали модуль их разности. Затем исходные числа стёрли.

а) Приведите пример расстановки, когда сумма полученных чисел равна 32.

б) Может ли сумма полученных чисел быть равна 29?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма полученных чисел?