№20. Числа и их свойства

Есть 4 камня, каждый массой 7 тонн, и 9 камней, каждый массой 22 тонны.

а) Можно ли разложить все эти камни на две группы так, чтобы разность суммарных масс камней в этих группах составила 8 тонн?

б) Можно ли разложить все эти камни на две группы, суммарные массы камней в которых равны?

в) Все камни хотят разложить на две группы. Какое наименьшее положительное значение (в тоннах) может принимать разность суммарных масс камней в этих группах?

Тройку различных натуральных чисел назовём удачной, если любое число в ней хотя бы на 5 больше, чем треть суммы двух других чисел. Например, 40, 45, 50 — удачная тройка.

а) Сколько существует удачных троек, содержащих числа 50, 60 и ещё одно число, большее 60?

б) Найдётся ли удачная тройка, одно из чисел которой равно 15?

в) Какое наибольшее количество чисел от 1 до 100 включительно можно расставить по кругу так, чтобы каждое число встречалось не более одного раза и любые три подряд идущих числа образовывали удачную тройку?

По кругу расставлено \(N\) различных натуральных чисел, каждое из которых не пре- восходит 365. Сумма любых четырёх идущих подряд чисел делится на 4, а сумма любых трёх идущих подряд чисел нечётна.

а) Может ли \(N\) быть равным 200?

б) Может ли \(N\) быть равным 109?

в) Найдите наибольшее значение \(N\).

На доске написано \(n\) единиц подряд. Между некоторыми из них расставляют знаки «\(+\)» и считают получившуюся сумму. Например, если было написано 10 единиц, то можно получить сумму 136: \(1 + 1 + 111 + 11 + 11 + 1 = 136\).

а) Можно ли получить сумму 132, если \(n = 60\)?

б) Можно ли получить сумму 132, если \(n = 80\)?

в) Для скольких значений \(n\) можно получить сумму 132?

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 60 и меньше 140.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

На доске написано 11 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.

а) Может ли наименьшее из этих одиннадцати чисел равняться 3?

б) Может ли среднее арифметическое всех одиннадцати чисел равняться 9?

в) Пусть \(B\) — шестое по величине число, а \(S\) — среднее арифметическое всех одиннадцати чисел. Найдите наибольшее значение выражения \(S - B\).